Algunos trucos de calculo mental (Wikipedia inglesa)

Métodos y técnicas (La traducción no es óptima, disculpad las molestias)

Echar fuera los nueves

Después de aplicar una operación aritmética de dos operandos y obtener un resultado, puede utilizar este procedimiento para mejorar su confianza en que el resultado es correcto.

1. Sumar los dígitos del primer operando, cualquier 9s (o conjuntos de dígitos que se suman a 9) se puede contar como 0.
2. Si la suma resultante tiene dos o más dígitos, sumar esos dígitos como en el paso uno, repetir este paso hasta que la suma resultante de un solo dígito.
3. Repita los pasos uno y dos con el segundo operando. Ahora tiene dos números de un dígito, uno condensado del primer operando y el otro de la condensada segundo operando. (Estos números de un dígito son también los restos que acabarían con si usted divide los operandos originales en un 9, matemáticamente hablando, son los operandos originales módulo 9.)
4. Aplicar la operación originalmente especificado, a los dos operandos condensados, a continuación, aplicar el procedimiento de cuya suma de dígitos en el resultado de la operación.
5. Sumar los dígitos del resultado que se obtuvo originalmente para el cálculo original ..
6. Si el resultado del paso 4 no es igual al resultado de la etapa 5, entonces la respuesta original es incorrecto. Si los dos resultados coinciden, entonces la respuesta original puede estar en lo cierto, aunque no se garantiza que sea.

Ejemplo

• Digamos que hemos calculado que 6338 × 79 es igual a 500702

1. Sumar los dígitos de 6338: (6 + 3 = 9, por lo que contar con que, 0) + 3 + 8 = 11
2. Iterar si es necesario: 1 + 1 = 2
3. Sumar los dígitos de 79: 7 + (9 cuenta como 0) = 7
4. Realizar la operación original de los operandos condensados, y los dígitos de suma: 2 x 7 = 14, 1 + 4 = 5
5. Sumar los dígitos de 500.702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, que cuenta como 0) = 5
6. 5 = 5, así que hay una buena probabilidad de que estábamos en lo cierto que es igual a 6338 × 79 500702.

Usted puede utilizar el mismo procedimiento con múltiples operaciones sólo tiene que repetir los pasos 1 y 2 para cada operación.

Estimación

Mientras comprueba el cálculo mental, es útil pensar en términos de escala. Por ejemplo, cuando se trata de un gran número, por ejemplo 1531 × 19625, la estimación que le den instrucciones a tener en cuenta el número de dígitos esperados para el valor final. Una manera útil de comprobación es de estimar. 1531 es de alrededor de 1500, y 19625 es de alrededor de 20.000, por lo que un resultado de alrededor de 20000 × 1500 (30 millones) sería una buena estimación de la respuesta real (30045875). Así que si la respuesta tiene demasiados dígitos, usted sabe que ha cometido un error.

Factores

Cuando se multiplican, una cosa útil es recordar que los factores de los operandos todavía permanecen. Por ejemplo, decir que el 14 × 15 fue de 211 no sería razonable. Desde el 15 era un múltiplo de 5, así que si el producto. La respuesta correcta es 210.

Cálculo de las diferencias: A - B

El cálculo directo

Cuando los dígitos de b son más pequeños que los dígitos correspondientes de una, el cálculo puede hacerse dígito a dígito. Por ejemplo, evaluar 872-41 simplemente restando 1 de 2 en el lugar de las unidades, y 4 de 7 en el lugar de las decenas: 831.

Cálculo indirecto

Cuando la situación anterior no se aplica, el problema que a veces pueden ser modificados:

• Si sólo dígito en el b es más grande que su dígito correspondiente en una, disminuir el dígito ofensivo en b hasta que sea igual a su dígito correspondiente en un archivo. Luego reste aún más la cantidad b se vio mermado por partir de una. Por ejemplo, para el cálculo de 872 a 92, gire el problema en 872-72 = 800. Luego reste 20 de 800: 780.

• Si hay más de un dígito en b es mayor que su dígito correspondiente en una, puede ser más fácil encontrar la cantidad debe ser añadido a b para obtener una. Por ejemplo, para el cálculo de 8192 - 732, se puede añadir 8-732 (que resulta en 740), a continuación, añadir 60 (para obtener 800), a continuación, 200 (de 1000). A continuación, añadir 192 para llegar a 1192, y, por último, añadir 7000 para obtener 8192. Nuestra respuesta final es 7460.
• Podría ser más fácil que empezar desde la izquierda (los números grandes) en primer lugar.

Usted puede adivinar lo que se necesita, y acumular sus conjeturas. Su conjetura es bueno siempre y cuando usted no ha ido más allá del "blanco" número. 8192 - 732, mental, desea agregar 8000, pero eso sería demasiado, así que le agregamos 7000, de 700 a 1100, es de 400 (hasta el momento tenemos 7400), y de 32 a 92 puede ser fácilmente reconocido como el 60. El resultado es 7460.

Mira-por delante prestado método

Este método puede ser utilizado para restar números de izquierda a derecha y, si todo lo que se requiere es leer el resultado en voz alta, se requiere poco de memoria del usuario incluso a restar números de tamaño arbitrario.
Un lugar en un momento se manipula, de izquierda a derecha.

 Ejemplo:

           4075
         - 1844
         ------

 Miles: 4 - 1 = 3, mirar a la derecha, 075 <844, necesita pedir prestado.
            3 - 1 = 2, por ejemplo "Dos mil".
            Se realiza 3 a 1 en lugar de 4 a 1 porque la columna de la derecha es
            va a pedir un préstamo al lugar de los millares.

 Cientos: 0 - 8 = los números negativos no se permite aquí.  
           Vamos a aumentar este lugar usando el número que tomado de la
           columna a la izquierda.  Por lo tanto:
           10-8 = 2.  Son las 10 en vez de 0, ya que tomado de los miles 
           lugar.  75> 44 por lo que no necesita pedir prestado,
           decir "200"

 Decenas: de 7 a 4 = 3, 5> 4 así que no hay necesidad de pedir prestado, por ejemplo "treinta"

 Seres: 5 - 4 = 1, dicen que "uno"

Cálculo de los productos: a, b ×

Muchos de estos métodos de trabajo a causa de la propiedad distributiva .

Al multiplicar por 2 o por otros números pequeños

Cuando un número que se multiplica es lo suficientemente pequeño para ser multiplicado con facilidad por cualquier dígito, el producto se puede calcular fácilmente dígito a dígito de derecha a izquierda. Esto es particularmente fácil para la multiplicación por 2 desde el acarreo dígito no puede ser mayor que 1.
Por ejemplo, para calcular 2 x 167: 2 x 7 = 14, de modo que el último dígito es 4, con un 1 realizado y se añadió a la 2 x 6 = 12 para dar 13, por lo que el dígito siguiente es 3 con un 1 y llevadas añadido a la 2 x 1 = 2 para dar 3. Así, el producto es 334.

Multiplicar por cinco

Para multiplicar un número por 5,
1. Primero multiplique ese número por 10, y luego dividir por 2.
El siguiente algoritmo es un método rápido para producir este resultado:
2. Añadir un cero al lado derecho del número deseado. (R) 3. A continuación, partiendo de la cifra más a la izquierda, se divide por 2 (B) y añadir cada resultado en la orden respectiva para formar un nuevo número, (fracción de respuestas que se redondeará al número entero más cercano).

 Ejemplo: multiplicar 176 por 5.
      A. Agregar un cero a 176 para que 1760.
      B. Divida por 2 a partir de la izquierda.
            1.  Divida 1 por 2 para obtener 0,5, redondeado hacia abajo a cero.
            2.  Divida 7 por 2 para obtener 3,5, redondeado hacia abajo a 3.
            3.  Dividir 6 por 2 para obtener 3.  Cero dividido por dos es simplemente cero.

El número resultante es 0330. (Esto no es la respuesta final, pero una primera aproximación que se ajustará en el paso siguiente :)

      C. Se añade 5 al número que sigue a cualquier número de un solo
         en este nuevo número que era raro antes de dividirse en dos;

Ejemplo: 176 (en los primeros lugares y Segundo Tercero):

            El primer lugar es 1.El 1, lo cual es extraño.  ADD 5 al numeral después    
              el primer lugar en nuestro nuevo número (0330) que es 3, 3 +5 = 8.
         
            2.El número en el segundo lugar de 176, 7, también es impar.  La 
              número correspondiente (0 8 3 0) se incrementa en 5 también;
              3 +5 = 8.

            3.El número en el tercer lugar de 176, 6, es par, por lo tanto,
              el número final, cero, en nuestra respuesta no se cambia.  Que
              respuesta final es 0880.
              El cero más a la izquierda se puede omitir, dejando 880.
              Así que 176 veces 5 es igual a 880.

Multiplicar por 9

Desde el 9 = 10 - 1, para multiplicar por 9, multiplique el número por 10 y luego restar el número original de este resultado. Por ejemplo, 9 × 27 = 270 - 27 = 243. También puede utilizar este método para ocho personas, pero que necesita para duplicar el número.

Uso de las manos: 1-10 multiplicado por nueve

Mantenga las manos delante de usted, con las palmas hacia arriba. Asignar el pulgar izquierdo para ser 1, el índice de izquierda a ser 2, y así sucesivamente hasta llegar a pulgar derecho es diez. Cada "|" simboliza un dedo levantado y un "-" representa un dedo doblado.

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 | | | | | | | | | |
 la mano izquierda la mano derecha

Dobla el dedo que representa el número que se multiplica por nueve abajo.
Ejemplo: 6 x 9 sería

 | | | | | - | | | |

El dedo meñique derecho está abajo. Tomar el número de dedos aún elevado a la izquierda del dedo doblado y anteponer al número de dedos a la derecha.
Ejemplo: Hay cinco dedos a la izquierda del dedo meñique derecho y cuatro a la derecha del dedo meñique derecho. Así que 6 x 9 = 54.

     5 4
 | | | | | - | | | |

Multiplicar por 10 (y potencias de diez)

Para multiplicar un número entero por 10, sólo tiene que añadir un 0 extra al final del número. Para multiplicar un número no entero por 10, mover el punto decimal a la derecha de un dígito.
En general, para la base diez, para multiplicar por 10 ⁿ (donde ⁿ es un entero), mover el punto decimal n dígitos a la derecha. Si n es negativo, se mueve la coma | N | dígitos a la izquierda.

Multiplicar por 11

Para números de un solo dígito, simplemente duplicar el número en las decenas, por ejemplo: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, hasta 9 × 11 = 99.
El producto para cualquier mayor de cero entero se puede encontrar por una serie de adiciones a cada uno de sus dígitos de derecha a izquierda, dos a la vez.
Lo primero a tener los dígitos y la copia que el resultado temporal. A continuación, comenzando con los dígitos del multiplicador, agregue cada dígito para el dígito a la izquierda. Cada suma se añade entonces a la izquierda del resultado, delante de todos los demás. Si un número resume a 10 o superior tome las decenas, que siempre será 1, y lo lleva a la siguiente adición. Finalmente copiar los multiplicadores más a la izquierda (el más alto valor) dígitos de la parte delantera del resultado, añadiendo en el llevado a 1 si es necesario, para obtener el producto final.
En el caso de un negativo 11, el multiplicador, o ambos se aplican en el signo del producto final como por multiplicación normal de los dos números.
Un ejemplo paso a paso de 759 × 11:

1. Los dígitos del multiplicador, 9, se copia en el resultado temporal.
   • Resultado: 9
2. Añadir 5 + 9 = 14, de modo 4 se coloca en el lado izquierdo del resultado y llevar a la 1.
   • resultado: 49
3. Del mismo modo sumar 7 + 5 = 12, a continuación, agregue el 1 llevado a conseguir 13. Coloque 3 al resultado y llevar el 1.
   • resultado: 349
4. Añadir el 1 llevado al más alto valor dígitos en el multiplicador, 7 + 1 = 8, y la copia con el resultado hasta el final.
   • El producto final de 759 × 11: 8349

Otros ejemplos:

• -54 X -11 = 5 5 4 (9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9 +1 (10) 9 9 1 (9) 9 9 (8) 9 = 10989
  • Nótese la manipulación de 9 +1 como el más alto valor dígitos.
• -3478 × 11 = 3 3 4 1 (8) 4 7 1 (2) 7 8 (5) 8 = -38258
• 62.473 x 11 = 6 6 2 (8) 2 4 1 (7) 4 7 1 (2) 7 3 (0) 3 = 687.203

Otro método consiste en multiplicar simplemente por el número 10, y añadir el número original al resultado.
Por ejemplo:
17 × 11
17 × 10 = 170 + 17 = 187
17 × 11 = 187

La multiplicación de dos números de 2 dígitos entre 11 y 19

Para multiplicarse fácilmente números de 2 dígitos en conjunto entre el 11 y 19 de un algoritmo simple es la siguiente (donde es una de las unidades para el primer número y B es el dígito de las unidades del segundo número):

 (10 + a) x (10 + b) 100 + 10 * (a + b) + a * b que puede ser visualizada como tres partes que se añade: 1 aa xx por ejemplo: 17 * 16 1 = 100 13 (7 6) = 10 * (a + b) 42 (7 * 6) = a * b 272 (total) 

Al multiplicar cualquier número de 2 dígitos

Para multiplicarse fácilmente cualquier número de dos dígitos en conjunto un algoritmo simple es la siguiente (donde es un dígito de las decenas del primer número, B es el dígito de las unidades del primer número, C es el dígito de las decenas del segundo número y es el d dígito de las unidades del segundo número):

Por ejemplo

   800
  120
  140
  + 21
 -----
  1081

Nótese que esto es lo mismo que la suma convencional de productos parciales, sólo actualizan con brevedad. Para minimizar el número de elementos que se están retenidas en la memoria, puede ser conveniente realizar la suma del producto "cruz" multiplicación primero, y luego añadir los otros dos elementos:

[De los cuales sólo dígito de las decenas va a interferir con el primer término]

es decir, en este ejemplo

(12 + 14) = 26, 26 × 10 = 260,

a la cual es que es fácil de añadir 21: 281 y luego 800: 1081
Una tecla de acceso fácil de recordar para esto sería FOIL. F primera acepción, es decir S externa, que significa interior y el significado L pasado. Por ejemplo:

y

donde 7 es una, 5 es b, 2 c es 3 y es d.
Considerar

esta expresión es análoga a cualquier número en base 10 con un centenas, decenas y unidades. FOIL también puede ser visto como un número con F siendo los cientos, OI siendo las decenas y L son las unidades.
es el producto del primer dígito de cada uno de los dos números, F.
es la adición del producto de los dígitos exteriores y los dígitos de aire; OI.
es el producto del último dígito de cada uno de los dos números; L.

Uso de las manos: 6-10 multiplicado por otro número 6-10

Esta técnica permite un número de 6 a 10 se multiplica por otro número de 6 a 10.
Asignar 6 en el dedo meñique, 7 en el dedo anular, 8 al dedo medio, 9 en el dedo índice y el pulgar de 10 a. Toca los dos números deseados juntos. El punto de contacto y por debajo se considera el "fondo" la sección y todo por encima de los dos dedos que están tocando son parte de la "top" sección. La respuesta está formado por la adición de diez veces el número total de "fondo" dedos para el producto del número de izquierda y derecha a mano "top" dedos.
Por ejemplo, 9 × 6 se vería así, con el dedo índice izquierdo tocando el dedo meñique derecho:

                                = 10 ==: pulgar derecho (parte superior)
                                == == 9: dedo índice derecho (parte superior)
                                8 == ==: el dedo medio a la derecha (arriba)
         pulgar izquierdo: = 10 ==== == 7: dedo anular derecho (parte superior)                    
  dedo índice izquierdo: - 9 ---> <--- 6 -: dedo meñique derecho (desde abajo)  
 el dedo medio izquierdo: - 8 - (ABAJO)
   dedo anular izquierdo: - 7 - (ABAJO)
 meñique izquierdo: - 6 - (FONDO)

En este ejemplo, hay 5 o inferior en los dedos (el índice izquierdo, corazón, anular y meñique, más el dedo meñique derecho), 1 a la izquierda "de arriba" dedo (el dedo pulgar izquierdo), y 4 dedos de la derecha "top" (el pulgar derecho, el dedo índice, dedo medio y dedo anular). Así que el cálculo es como sigue: 9 × 6 = (10 × 5) + (1 x 4) = 54.
Consideremos otro ejemplo, 8 × 7:

                                = 10 ==: pulgar derecho (parte superior)
         pulgar izquierdo: = 10 ==== == 9: dedo índice derecho (parte superior)
  dedo índice izquierdo: 9 == ==== == 8: dedo medio derecho (parte superior)
 el dedo medio izquierdo: - 8 ---> <--- 7 -: dedo anular derecho (desde abajo)
   dedo anular izquierdo: - 7 ---- 6 -: dedo meñique derecho (desde abajo)
 meñique izquierdo: - 6 - (FONDO)

Cinco dedos fondo decenas hacer 5 o 50. Dos dedos arriba a la izquierda y tres dedos de la derecha arriba que el producto sea 6. En resumen estos produce la respuesta, de 56 años.
Otro ejemplo, esta vez con 6 × 8:

          = 10 ==

9

 = 10 ==== 8 ==

9 7 ====

 - 8 ---> <--- 6 -
 - 7 -         
 - 6 -         

Cuatro decenas (abajo), más cuatro (dos veces superior) da 40 + 2 × 4 = 48.
Así es como funciona: cada dedo representa un número entre 6 y 10. Cuando te unes a los dedos que representan a X e Y, habrá 10 - x "top" dedos y x-5 o inferior en los dedos de la mano izquierda, la derecha contará con 10 - y "superiores" y los dedos y - 5 "de fondo "dedos.
Dejar

(El número de "mejores" dedos de la mano izquierda)

(El número de "mejores" los dedos de la mano derecha)

(El número de "fondo" dedos de la mano izquierda)

(El número de "fondo" los dedos de la mano derecha)

A continuación, siguiendo las instrucciones de arriba produce

que es el producto que buscamos.

Uso de los números cuadrados

Los productos de pequeñas cantidades puede calcularse mediante el uso de los cuadrados de números enteros, por ejemplo, para calcular 13 × 17, se puede observar 15 es la media de los dos factores, y pensar que es (15 - 2) × (15 + 2), es decir, 15 ² - 2 ². Sabiendo que 15 $ ² $ es 225 y 2 ² es 4, simple resta demuestra que 225-4 = 221, que es el producto deseado.
Este método requiere conocer por el corazón de un cierto número de cuadrados:

• 1 ² = 1
• 2 ² = 4
• 3 ² = 9
• 4 ² = 16
• 5 ² = 25
• 6 ² = 36
• 7 ² = 49
• 8 ² = 64
• 9 ² = 81
• 10 ² = 100
• 11 ² = 121
• 12 ² = 144
• 13 ² = 169
• 14 ² = 196
• 15 ² = 225
• 16 ² = 256
• 17 ² = 289
• 18 ² = 324
• 19 ² = 361
• 20 ² = 400
• 21 ² = 441
• 22 ² = 484
• 23 ² = 529
• 24 ² = 576
• 25 ² = 625
• 26 ² = 676
• 27 ² = 729
• 28 ² = 784
• 29 ² = 841
• 30 ² = 900

números escuadreo

Puede ser útil tener en cuenta que la diferencia entre dos números cuadrados sucesivos es la suma de sus respectivas raíces cuadradas. Por tanto, si usted sabe que el 12 × 12 = 144 y quiere saber de 13 × 13, calcular 144 + 12 + 13 = 169.
Esto es debido a que (x + 1) ² - x ² = x ² + ² x + 1 - x ² = x + (x + 1)
x ² = (x - 1) ² + (2 x - 1)

números escuadreo cerca de 50

Supongamos que tenemos que elevar al cuadrado un número x cerca de 50. Este número puede ser expresado como x = 50 - n, y por lo tanto la respuesta x ² es (50 - n) ^2, que es 50 ² - 100N + n ^2. Sabemos que es 50 ² 2500. Así que restar 100 n de 2500, y luego agregar el n ^2. Ejemplo, decimos que queremos a la plaza 48, que es de 50 - 2. Restamos 200 de 2500 y añadir un 4, y obtener x ² = 2304. Para los números más grandes de 50 (x = 50 + n), añadir n un centenar de veces en lugar de restar la misma.

Cuadrado de un número terminado en 5

• 1. Tomar el dígito (s) que precede al cinco: abc5, donde a, b, c son dígitos
  2. Multiplique este número por sí mismo más uno: ABC (ABC 1 +)
  3. Tomar anterior resultado y adjuntar 25 al extremo
  • Ejemplo: 85 x 85
    1. 8
    2. 8 x 9 = 72
    3. Así, 85 ² = 7,225
  • Ejemplo: 125 ²
    1. 12
    2. 12 × 13 = 156
    3. Así, 125 ² = 15625
  • Explicación matemática

(10 x + 5) 2	= (10 x + 5) (10 x + 5)
	= 100 x 2 + 100 x + 25
	= 100 (x 2 + x) + 25
	= 100 x (x + 1) + 25

La cuadratura un número entero 26-75

Este método requiere la memorización de las plazas de 1 a 25.
El cuadrado de n (más fácil de calcular cuando n es entre 26 y 75 inclusive) es

(50 - n) ² + 100 (n - 25)

En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia de cincuenta añadido a cien veces la diferencia del número y cinco veinte. Por ejemplo, a la plaza 62, tenemos:

(-12) ² + [(62-25) x 100]

= 144 + 3700

= 3.844

si se quiere elevar al cuadrado un número de dos dígitos que termina en 5, entonces es fácil. Ejemplo 25 * 25 = 625

             los dos últimos dígitos son 25 _

para el primer número multiplicar el primer dígito con el número siguiente, es decir,

               2 * (2 +1) = 2 * 3 = 6

Por lo tanto la respuesta es 25 * 25 = 625
Misma manera que 35 * 35 = 1225

 45 * 45 = 2025
 55 * 55 = 3025

65 * 65 = 4225 75 * 75 = 5625 85 * 85 = 7225 95 * 95 = 9025

La cuadratura un número entero 76-125

Este método requiere la memorización de las plazas de 1 a 25.
El cuadrado de n (más fácil de calcular cuando n es entre 76 y 125 inclusive) es

(100 - n) ² + 100 (100 - 2 (100 - n))

En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia de cien añadido al producto de cien y la diferencia de cien y el producto de dos y la diferencia de cien y el número. Por ejemplo, a la plaza 93, tenemos:

7 ² + 100 (100-2 (7))

= 49 + 100 × 86

= 49 + 8600

= 8.649

Otra forma de verlo sería como esta:

93 ² =? (-7 Es de 100)

93-7 = 86 (lo que nos da los dos primeros dígitos)

(-7) ² = 49 (estos son los segundos dos dígitos)

93 ² = 8649

Otro ejemplo:

  82 2 =?  (-18 Es de 100)
  82 a 18 = 64 (dígitos subtract. primero.)
  (-18) 2 = 324 (el segundo par de dígitos. Vamos a necesitar para llevar a la 3.)
  82 ² = 6724

La cuadratura cualquier número

Tome un número dado, y sumar y restar un valor determinado para que sea más fácil para multiplicarse. Por ejemplo:

492 ²

492, cerca de 500, que es fácil de multiplicar por. Sumar y restar 8 (la diferencia entre 500 y 492) para obtener

492 -> 484, 500

Multiplique estos números para obtener 242.000 (Esto se puede hacer de manera eficiente al dividir 484 por 2 = 242 y multiplicando por 1000). Por último, añadir la diferencia (8) al cuadrado (8 ² = 64) con el resultado:

492 ² = 242,064

La prueba siguiente:

La cuadratura los números enteros de 2 dígitos

Este método requiere la memorización de los cuadrados de los números de un dígito del 1 al 9.
El cuadrado de mn, mn ser un número entero de dos dígitos, se puede calcular como

10 × m (mn + n) + n ²

Significado de la plaza de Mn se puede encontrar por adición de n a Mn, multiplicado por m, añadiendo 0 hasta el final y finalmente añadir el cuadrado de n.
Por ejemplo, tenemos 23 ^2:

 23 2
 = 10 x 2 (23 + 3) + 3 2
 = 10 × 2 (26) + 9
 = 520 + 9
 = 529

Así 23 ² = 529.

Búsqueda de las raíces

aproximar raíces cuadradas

Una forma sencilla para aproximar la raíz cuadrada de un número es utilizar la siguiente ecuación:

Cuanto más cerca de la conocida plaza es a lo desconocido, más exacta será la aproximación. Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 15 años, podríamos empezar con el conocimiento que el próximo cuadrado perfecto es de 16 (4 ^2).

Para ello hemos calculado la raíz cuadrada de 15 a ser 3.875. La verdadera raíz cuadrada de 15 es 3,872983 ...
Derivación
Digamos que queremos hallar la raíz cuadrada de un número que llamaremos x. Por definición

A continuación, redefinir la raíz

donde a es una raíz conocida (4 del ejemplo anterior) y b es la diferencia entre la raíz conocida y la respuesta que buscamos.

Ampliación de los rendimientos

Y aquí está el truco. Si "A" está cerca de su objetivo, 'b' será un número lo suficientemente pequeño como para hacer que el elemento de la ecuación insignificante. Así que dejamos caer a cabo y reordenar la ecuación para

y por lo tanto

que se puede reducir a

Extracción de raíces de las potencias perfectas

Ver también: 13 de la raíz

La extracción de las raíces de las potencias perfectas se practica a menudo. La dificultad de la tarea no depende del número de dígitos de la potencia perfecto, pero en la precisión, es decir, el número de dígitos de la raíz.

La extracción de raíces cúbicas

Una tarea fácil para el principiante es la extracción de raíces cúbicas de los cubos de 2 dígitos. Por ejemplo, dado 74088, determinar qué número de dos dígitos, cuando se multiplica por sí mismo una vez y luego se multiplica por el número de nuevo, los rendimientos de 74088. Uno que conoce el método rápidamente sabrá la respuesta es 42, 42 ³ = 74.088.
Antes de aprender el procedimiento, se requiere que el intérprete memorizar los cubos de los números de 1-10:

• 1 ³ = 1
• 2 ³ = 8
• 3 ³ = 27
• 4 ³ = 64
• 5 ³ = 125
• 6 ³ = 216
• 7 ³ = 343
• 8 = ³ 512
• 9 ³ = 729
• 10 ³ = 1000

Un buen truco aquí es que hay un patrón. Recuerde que el patrón es la suma y resta. A partir de cero:

• 0 ³ = 0
• 1 ³ = 1 hasta 1
• 2 ³ = 8 por 3
• ³ 3 = 27 hasta 1
• 4 ³ = 64 3 abajo
• 5 ³ = 125 hasta 1
• 6 ³ = 216 a 1
• 7 ³ = 343 hasta 3
• 8 ³ = 512 hacia abajo 1
• 9 ³ = 729 hasta 3
• 10 ³ = 1000 hasta un

Hay dos pasos para extraer la raíz cúbica del cubo de un número de dos dígitos. Digamos que se les pide para extraer la raíz cúbica de 29791. Comience por determinar el lugar de uno (unidades) del número de dos dígitos. Usted sabe que debe ser uno, ya que el cubo termina en 1, como hemos visto anteriormente.

• Si el cubo perfecto termina en 0, la raíz cúbica de ella debe terminar en 0.
• Si el cubo perfecto termina en 1, la raíz cúbica de ella debe terminar en 1.
• Si el cubo perfecto termina en 2, la raíz cúbica de ella debe terminar en 8.
• Si el cubo perfecto termina en 3, la raíz cúbica de ella debe terminar en el 7.
• Si el cubo perfecto termina en 4, la raíz cúbica de ella debe terminar en 4.
• Si el cubo perfecto termina en 5, la raíz cúbica de ella debe terminar en 5.
• Si el cubo perfecto termina en 6, la raíz cúbica de ella debe terminar en 6.
• Si el cubo perfecto termina en 7, la raíz cúbica de ella debe terminar en 3.
• Si el cubo perfecto termina en 8, la raíz cúbica de ella debe terminar en 2.
• Si el cubo perfecto termina en 9, la raíz cúbica de ella debe terminar en 9.

Nótese que todos los dígitos corresponde a sí mismo a excepción de 2, 3, 7 y 8, que se acaba de restarse de diez para obtener el correspondiente dígito.
El segundo paso consiste en determinar el primer dígito de la raíz cúbica de dos dígitos mirando a la magnitud del cubo dado. Para ello, quite los tres últimos dígitos del cubo dado (29791 -> 29) y encontrar el mayor cubo es mayor que (aquí es donde conocer los cubos de los números 1-10 se necesita). Aquí, 29 es mayor que 1 en cubos, mayor que 2 al cubo, mayor que 3 al cubo, pero en cubos no superior a 4. La mayor cubo que es mayor que es 3, por lo que el primer dígito del cubo dos dígitos debe ser 3.
Por lo tanto, la raíz cúbica de 29791 es el 31.
Otro ejemplo:

• Encontrar la raíz cúbica de 456533.
• La raíz cúbica termina en 7.
• Después de los tres últimos dígitos son separados, 456 restos.
• 456 es mayor que todos los cubos hasta 7 cubos.
• El primer dígito de la raíz cúbica es de 7.
• La raíz cúbica de 456 533 es de 77.

Aproximar los registros comunes (log en base 10)

Para aproximarse a un registro común (al menos a una precisión de punto decimal), algunas reglas de registro de pocos, y la memorización de unos pocos troncos se requiere. Uno debe saber:

• log (axb) = log (a) + log (b)
• log (a / b) = log (a) - log (b)
• registro (0) no existe
• log (1) = 0
• log (2) ~ 0,30
• log(3) ~ .48
• log(7) ~ .85

From this information, one can find the log of any number 1-9.

• log(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(4) = log(2 x 2) = log(2) + log(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) - log(2) ~ .70
• log(6) = log(2 x 3) = log(2) + log(3) ~ .78
• log(7) ~ .85
• log(8) = log(2 x 2 x 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• log(9) = log(3 x 3) = log(3) + log(3) ~ .96
• log(10) = 1 + log(1) = 1

El primer paso para aproximar el registro común es poner el número en notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es de 4,5 x 10 ^ 1, pero lo vamos a llamar a 10 ax ^ b. A continuación, buscar el registro de una, que está entre 1 y 10. Comienza por encontrar el registro de 4, que es 0,60 y, a continuación el registro de 5, que es 0,70 porque 4,5 es entre estos dos. A continuación, y la habilidad en esta viene con la práctica, colocar un 5 en una escala logarítmica entre 0,6 y 0,7, alrededor de 0.653 (Nota: el valor real de las nuevas plazas será siempre mayor que si se colocan de forma regular escala. es decir, que se puede esperar que vaya a 0.650, ya que está a medio camino, sino que será un poco más grande, en este caso 0.653) Una vez que haya obtenido el registro de una, sólo tiene que añadir a la b para obtener el aproximación del registro común. En este caso, a + b = 0,653 + 1 = 1.653. El valor real de registro (45) = 1,65321.
El mismo proceso se aplica para los números entre 0 y 1. Por ejemplo, 0.045 se escribiría como 4.5 x 10 ^ -2. La única diferencia es que b es negativo, por lo que al agregar que realmente restar. Esto daría el resultado 0.653-2, o -1,347.

Otros sistemas

Hay muchos otros métodos de cálculo en las matemáticas mentales. La siguiente lista muestra algunos otros métodos de cálculo, aunque no sea del todo mental.

• Védicos mentales matemática védica - (página de Matemáticas ha sido cooptado por la historia de la página de las matemáticas indias)
• Sistema de Trachtenberg
• Abacus sistema - Cuando los estudiantes se acostumbran a la manipulación del ábaco con los dedos, que normalmente se le pide que haga el cálculo mediante la visualización de ábaco en su cabeza. Casi todos los usuarios de dominio del ábaco son expertos en hacer aritmética mental. ^{[ cita requerida ]}
• Chisanbop

Algunos trucos de calculo mental (Wikipedia española)

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas. La práctica del cálculo mental favorece que el estudiante ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos utilizada en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable permitir el descubrimiento de reglas y la selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental.

Sumas y restas

Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.
Ejemplos:

• Calcular 456 + 155:

456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda)

456 + 155 = 456 + 4 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera)

456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)

• Calcular 876 - 98:

876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)

876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))

876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)

• Calcular 634 - 256:

634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)

Duplicación y mediación

Artículo principal: Duplicación.

Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.
Ejemplo: multiplicar 173 × 16:

Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.

La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.
Ejemplo: multiplicar 376 × 125

Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.

376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.

• 324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.

Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.

Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10

Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1, se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10ⁿ veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99

28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772

Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121

121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477

Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:
Multiplicar:

12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795

8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406

Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.

Multiplicación por 37

Primero, basta recordar lo siguiente:

• 37 × 3 = 111
• 37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1

El procedimiento es este:

1. Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74.

   Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.

2. Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.

   En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.

3. Se suma todo.

   3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478.

Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos:

37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998

37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923

37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923

Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.

Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:

74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476

111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)

148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904

Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857... basta con tomar seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):

142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449

Igualdades notables y cálculo de cuadrados

Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b) (a - b) = a² - b²

Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras

Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.

(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

Más ejemplos:

17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289

76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776

95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y una decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:

2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76

Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4: (4*10+u)^2 = (15+u) y (10-u)^2 Ejemplo: 47^2= (15+7) y (10-7)^2 = 22 y 09 =2209, ya que 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.
Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) y u^2; ejemplo: 53^2= (25+3) y 3^2 = 2809
Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)y(10-u)^2; ejemplo: 96^2=(80+2*6)y(10-6)^2= 92y16= 9216
Algoritmo idem,para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2= (100+2u)y u^2; ejemplo 108^2= (100+2*8)y8^2 = 116y64= 11664
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento, pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:

5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6.724 = 33.431.524

Producto de dos números que equidistan de un número cuyo cuadrado es conocido

El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.

(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596

Más ejemplos:

77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391

95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975

128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

Cuadrado de un número acabado en 5

El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5:

(a + 5) (a - 5) = a² - 25

Por tanto, se tiene que:

(a + 5) (a - 5) + 25 = a²

Si a = 65, el resultado es el siguiente:

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.

Más ejemplos:

35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225

105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025

255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025

En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.

Cubos y potencias superiores

El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:

95⁴ = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda cifra de 9025 sea un cero)

Cálculo de logaritmos (en base 10)

Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo siguiente:

• log(ab) = log(a) + log(b)
• log(a : b) = log(a) - log(b)
• log(0) si existe
• log(1) = 0
• log(2) ~ 0,33

• log(3) ~ 0,48
• log(7) ~ 0,85
• log(10) = 1
• Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que la función logaritmo es creciente.

A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número del 1 al 9:

• log(1) = 0
• log(2) ~ 0,30
• log(3) ~ 0,48
• log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
• log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
• log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78
• log(7) ~ 0,85
• log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
• log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a 0,95)
• log(10) = 1

El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 10¹. En general, tendremos un número de la forma a × 10^b, donde a es un número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5) ~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso, una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10^-2. Hay que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.

Verificar el resultado

Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:

• Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un número de cifras igual, o una unidad mayor (según el caso) que la suma de las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25, o viceversa.
• Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
• Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:

7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1

6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9

Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es 4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.

Conclusión

En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor agilidad en el cálculo mental, es útil:

• Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por 3.
• Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final es 234.

Prueba del nueve (From Wikipedia)

La prueba del nueve es un artificio matemático utilizado para verificar, de una forma sencilla, si una operación de multiplicación o división, realizada a mano, ha dado un resultado erróneo.
Mediante esta prueba se puede comprobar si la operación tiene algún error o no. Si el resultado de la prueba da "erróneo" se puede asegurar que la operación no es correcta, sin embargo, si el resultado de la prueba da "correcto" esto no implica necesariamente que la operación esté bien.
Esta prueba fue muy popular hasta mediados de la década de 1970, cuando las calculadoras portátiles se hicieron usuales. Hasta esta fecha, la única forma de verificar la bondad de una operación realizada, era mediante este tipo de artificios matemáticos o mediante la repetición de la operación por otra persona y el cotejo de los resultados obtenidos.

Contenido 1 Definición de la RAE 2 Base de la prueba del nueve 3 Prueba del nueve en la multiplicación 4 Prueba del nueve en la División 5 Historia 6 Referencias 7 Enlaces externos

Definición de la RAE

Cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras.¹

Base de la prueba del nueve

El éxito de este artificio para saber si una operación es o no correcta se basa en la congruencia entre números y en su facilidad de cálculo.
Se basa en el hecho de que para cualesquiera números a y b
a * b = c ⇒ (a mod 9) * (b mod 9) = (c mod 9).
Esto es, si el producto de dos números dados es igual a un tercero, esto implica que el producto del resto de dividir cada uno de esos números entre 9 es igual al resto del tercer número dividido entre nueve.
Ejemplo:
a) 12.587.626 * 9.857.231 = 124.079.137.223.606
Si dividimos cada uno de los números entre 9 y utilizamos el resto de las divisiones tenemos:
b) 1 * 8 = 8

A esto se le une la facilidad para calcular el resto de dividir cualquier número entre nueve, ya que:
El resto de dividir un número entre 9 es igual que el resto de dividir la suma de sus cifras entre 9.
Ejemplos:

• (12.587.626 mod 9) = (1+2+5+8+7+6+2+6) mod 9 = 37 mod 9 = (3+7) mod 9 = 10 mod 9 = 1
• (9.857.231 mod 9) = (9+8+5+7+2+3+1) mod 9 = 35 mod 9 = (3+5) mod 9 = 8 mod 9 = 8
• (124.079.137.223.606 mod 9) = (1+2+4+0+7+9+1+3+7+2+2+3+6+0+6) mod 9 = 53 mod 9 = (5+3) mod 9 = 8 mod 9 = 8

O de una forma mas simple, "eliminando los nueves":

• (12.587.626 mod 9)
• 1 + 2 = 3;
• 3 + 5 = 8;
• 8 + 8 = 16; Eliminando los nueves (16 mod 9) = 7;
• 7 + 7 = 14; Eliminando los nueves (14 mod 9) = 5;
• 5 + 6 = 11; Eliminando los nueves (11 mod 9) = 2;
• 2 + 2 = 4;
• 4 + 6 = 10; Eliminando los nueves (10 mod 9) = 1;
• (12.587.626 mod 9) = 1;

Prueba del nueve en la multiplicación

Para comprobar si el resultado de una multiplicación (A*B*C=D) es erroneo:

• 1.- Se calcula el resto de dividir el resultado obtenido entre 9. d = (D mod 9).
• 2.- Se calcula el resto de los multiplicandos dividiéndoles entre 9. a = (A mod 9); b = (B mod 9); c = (C mod 9).
• 3.- Se multiplican estos restos y se obtiene su resto al dividirlo entre 9. a*b*c = N; n = (N mod 9).
• 4.- Se comprueba si los dos valores obtenidos son iguales. d = n.

Si d distinto que n ⇒ Sabemos que la multiplicación no es correcta (A*B*C distinto D).
Si d igual que n. Es probable, aunque no seguro, que la multiplicación sea correcta.

Prueba del nueve en la División

Para comprobar si el resultado de una división entera (A/B=C y con resto D) es erróneo A / B = C con resto D ⇒ A = B*C+D

• 1.- Se calcula el resto de dividir el cada uno de los números intervinientes entre 9.

a = (A mod 9).
b = (B mod 9).
c = (C mod 9).
d = (D mod 9).

• 3.- Se multiplican los restos (de dividir entre 9) del denominador por el del cociente. b*c
• 4.- Se le suma al resultado anterior el resto (de dividir entre 9) del resto de la división. E=b*c + d
• 5.- Se obtiene el resto de dividir entre 9 este resultado obtenido e = (E mod 9).
• 6.- Se comprueba si el resto obtenido es igual al resto del numerador e=a.

Si e distinto que a ⇒ Sabemos que la división no es correcta (A distinto de B*C+D).
Si e igual que a. Es probable, aunque no seguro, que la división sea correcta.

Historia

La prueba del nueve fue descubierta por el obispo Hippolytos en el siglo tercero y fue empleada por los matemáticos indios del siglo XII.²
En su libro Synergetics, R. Buckminster Fuller afirma haber usado la prueba del nueve "antes de la 1ª Guerra Mundial".³ Fuller explica cómo realizar la prueba del nueve y hace otras afirmaciones sobre los resultados, sin embargo es incapaz de captar los falsos positivos de esta prueba.

Trachenberg; Multipicar rapidamente por 4 y 3.

Multiplicar por 4

Regla:

1. Reste el dígito del extremo derecho de 10.
   1. Resta los dígitos restantes a partir del 9.
2. Añadir la mitad de la vecina, más el 5 si la cifra es impar.
3. Para el 0, restar 1 a la mitad de los vecinos.

Ejemplo: 346 * 4 = 1384
Trabajando de derecha a izquierda:

• (10 - 6) + La mitad de 0 (0) = 4. Escribir 4.
• (9 - 4) + La mitad de 6 (3) = 8. Escribir 8.
• (9 - 3) La mitad de + 4 (2) + 5 (desde 3 es impar) = 13. Escribir 3, llevar a 1.
• La mitad de 3 (1) - 1 + 1 (llevó) = 1. Escribir 1.

Multiplicar por 3

Regla:

1. Reste el dígito más a la derecha del 10.
   1. Resta los dígitos restantes a partir del 9.
2. Duplicar el resultado.
3. Añadir la mitad de la vecina, más el 5 si la cifra es impar.
4. Para el cero a la izquierda, restar 2 a partir de la mitad de los vecinos.

Ejemplo: 492 x 3 = 1.476
Trabajando de derecha a izquierda:

• (10 - 2) x 2 + La mitad de 0 (0) = 16. Escribir 6, llevar a 1.
• (9 - 9) x 2 + La mitad de 2 (1) + 5 (desde 9 es impar) + 1 (llevó) = 7. Escribir 7.
• (9 - 4) x 2 + La mitad de 9 (4) = 14. Escribir 4, llevar a 1.
• La mitad de 4 (2) - 2 + 1 (llevó) = 1. Escribir 1.

Trachtenberg; Multiplica rapidamente por 5, 6, 7, 8, 9

Multiplicar por 5

• Regla: para multiplicar por 5:
  1. Si el número es impar tomar cinco (5) y sumar la "mitad" del vecino derecho
  2. Si el número es par tomar cero (0) y sumar la "mitad" del vecino
  3. La "mitad" del vecino significa, la mitad sin decimales, ejemplo la "mitad" de 5 es 2

• Ejemplo: 1.683 × 5 = 8.415

3 es impar y su vecino es cero poner 5

8 es par, toma 0 y la "mitad" de su vecino 3 es 1, sumando el resultado es: 1

6 es par, toma 0 y la "mitad" de su vecino 8 es 4, sumamos y el resultado es 4

1 es impar, toma 5 y la "mitad" de su vecino 6 es 3, sumamos y el resultado es 8

Multiplicar por 6

• Regla: para multiplicar por 6:
  1. Agregar la mitad del vecino a cada dígito.
  2. Si el dígito es impar, reducirlo al número entero más bajo.
  3. Si el resultado es impar, agregar 5.

• Ejemplo: 657.832 × 6 = 3.946.992

Volver a copiar 2

3 + (2 / 2) + 5 = 9; 3 es impar se suma 5

8 + (3 / 2) = 9; 3 es impar se reduce a 2

7 + (8 / 2) + 5 = 16; 7 es impar se suma 5, y se lleva 1

5 + (7 / 2) + 1 + 5 = 14; 5 es impar se suma 5, y 1 que se llevaba. 7 es impar se reduce a 6

6 + (5 / 2) + 1 = 9; se suma 1 que se llevaba. 5 es impar se reduce a 4

6 × 6 = 36

Multiplicar por 7

• Regla: para multiplicar por 7:
  1. Multiplicar por dos cada dígito.
  2. Añadir la mitad de su vecino.
  3. Si el dígito es impar, añadir 5.

• Ejemplo: 657.832 × 7 = 4.604.824

2 × 2 = 4

3 × 2 + (2 / 2) + 5 = 12; 3 es impar se suma 5

8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se lleva 1

7 × 2 + (8 / 2) + 1 + 5 = 24; Se suma 1 que se llevaba. 19 es impar se suma 5, y se llevan 2

5 × 2 + (7 / 2) + 2 + 5 = 20; Se suman 2 que se llevaban. 15 es impar se suma 5. 7 es impar se reduce a 6

6 × 2 + (5 / 2) + 2 = 16; se suman 2 que se llevaban. 5 es impar se reduce a 4

6 × 7 = 42

Multiplicar por 8

• Regla: para multiplicar por 8:
  1. Substraer el último dígito de 10 y duplicar.
  2. Substraer 9 de los otros dígitos.
  3. Quitar dos al dígito de la derecha y sumar si se lleva.

Multiplicar por 9

• Regla: para multiplicar por 9:
  1. Substraer el último dígito de 10. (Ex.: 10 - 3 = 7)
  2. Substraer los otros números de 9 y añadir al dígito a la derecha.
  3. Quitar uno del primer dígito.