Hoy con nosotros tenemos a Roberto Roig y su genial aportación de mnemonicos(o nemonicos) de matemáticas avanzadas (Que postraremos más en el futuro, es más la idea seria hacer una serie ordenada de nemonicos desde matemática básica hasta el ultimo nivel de universidad) llamo a estos nemonicos Roig en honor a su creador;
Demostración y
aplicación de la formula de integración por partes (desde ahora
IPP)
Tenemos la formula •
Un
Dia
Vi
Una
Vaca
Sin cola
Vestida
de
Uniforme”
he coloreado de rojo las letras del primer miembro de la ecuación y
de azul las del segundo miembro, estos “mnemónicos” (recursos
mnemotécnicos ya hechos por otros, conocidos con cierta popularidad)
no suelen retener toda la esencia de la fórmula; por ejemplo en este
caso no especifica la posición del signo igual y del signo menos, la
forma más efectiva hasta este momento de retener una formula es la
práctica.
Un buen método para memorizarla sería utilizar este recurso
tomado de wikipedia: “
La demostración de la
formula de IPP y de muchos teoremas relacionados como “el teorema
de IPP en una integral definida” siempre empieza con la regla de
derivación del producto de dos funciones que dice:
Se lee: la derivada
del producto de las funciones u de x y v de x es igual a u de x por
la derivada de v de x más v de x por la derivada de u de x.
Por definición de
primitiva y notación de Leibniz, integramos ambos miembros de la
ecuación:
• De aquí tenemos:
y despejamos la
integral de u diferencial de v de x
Simplificando la
fórmula pues la variable x en integrales es “muda” nos queda
finalmente la formula del inicio
NOTA: Vean la
importancia de “asociar” el método de IPP con la derivada del
producto de 2 funciones, que es el punto de partida... Puede hacerse
esto con muchos recursos nemotécnicos. Si en un examen nos preguntan
“demuestre el método de IPP” usted debe inmediatamente pensar en
la formula de la derivación del producto de dos funciones. Siempre.
Quizá esto parezca sencillo pero es poderoso y no hay que
subestimarlo, pues en la universidad es tanto el material de estudio
que hasta las cosas mas sencillas se nos pueden escapar, por eso uno
debe mantener la humildad. Como dicen los anglosajones “small is
beautiful”.
Resumiendo:
1) Para demostrar la
formula de IPP evocamos la formula de la derivada del producto de dos
funciones. Escribimos esta formula.
2) integramos ambos
miembros de la ecuación.
3) despejamos la
integral de “u” para obtener nuestra formula.
Aplicación de la
formula de IPP
Explicaremos como usar
la IPP a problemas mediante un ejemplo
Tenemos
o sea la
integral del producto de las funciones x y senx. La dificultad del
alumno que ve por primera vez IPP es que no sabe como escoger el “u”
y dv. Lo primero a tener en cuenta es que nuestro “u” es una
FUNCION o sea, se debe escoger una función, en nuestro caso están
la función identidad “x” y la función trigonométrica “senx”
por defecto una vez escogida nuestra función “u” “el resto”
será el diferencial de v o sea nuestro dv; por ejemplo si escogemos
como nuestro “u” al senx entonces el diferencial de “v” dv
sera xdx
Y viceversa si
escogemos como “u” a x entonces nuestro “dv” será senxdx
Creo que esto es claro.
Así que armamos
nuestro algoritmo:
1) Primer paso;
escogemos nuestro “u” que será la función identidad x, por
lógica nos queda senxdx que será nuestro “dv” (diferencial de
v)
2) Segundo paso; ya que
tenemos el u y el dv podremos hallar du y v que necesitamos para
reemplazar en nuestra formula.
u=x ====> du=dx
o sea como u =x el diferencial de u es igual al diferencial de x
dv=senxdx ====>
integrando ambos miembros obtenemos v=-cosx , pues la integral del
senx es –cosx
Ordenando: u=x , du=dx
, dv=senxdx, v=-cosx
3) Tercer paso; Como ya
hemos hallado u, dv, dx y v ahora solo nos queda reemplazar en la
ecuación
= x(-cosx) -
aquí
el signo menos del coseno “sale” del signo de integral y se
multiplica con el menos de afuera o sea nos da más:
= -xcosx +
finalmente:
= -xcosx + senx + C ,
donde C es la constante de integración.
NOTA: ¿que hubiera
sucedido si en lugar de escoger como “u” a x hubiéramos elegido
al senx? esto queda como ejercicio :) Una regla nemotécnica para
elegir nuestro “u” es el conocido L.I.A.T.E. siglas de (función
Logaritmo, Inversa, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial) es
decir esto nos da el orden de prioridad para elegir nuestro u.
Resumiendo:
1) escogemos nuestro u
(que debe ser una función) y por descarte obtendremos nuestro dv
2) Con nuestro u
hallaremos el du, y así mismo integrando dv, hallaremos v
3) o sea tenemos
nuestros 4 datos: u, du, v y dv que reemplazamos en la ecuación y
pasamos a operar es decir integrar según operaciones elementales y
la tabla de fórmulas de integración.
: expresión elevada al cuadrado = un
cuadro en una pared cayendo sobre algún objeto.
: una serpiente.
, Asociación: “una serpiente
devorando una cocina y excretando una teta o un seno”.
Asociación: “una serpiente se
come a un sargento y caga al loco de Neper secandose el cabello con
una secadora de pelo”.
Asociación: “una serpiente se
traga una secadora de pelo y caga al loco de Neper secándole el pelo
a un sargento” 
