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miércoles, 7 de noviembre de 2012

Raíces Cuadradas

Por cortesía de José María Bea desde su blog;

Vamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31. Voy a apuntarlos.
111212144131961
1214422484  
1316923529  
1419624576  
1522525625  
1625626676  
1728927729  
1832428784  
1936129841  
Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5. Como he dicho anteriormente, un programa que facilitará enormemente esta tarea es el "Conversor Numérico".
Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.
Veamos en qué consiste el método:
Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:
Queremos calcular la raíz cuadrada de 110 .
PasoCálculoExplicación
1Raíz entera ( 110 ) = 10Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero.
2110 – 102 = 10110 le restamos 102
310 10 ) / 2 = 0,5El resultado anterior lo dividimos por elentero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.
410 0,5 10,5El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.
El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:
Raíz cuadrada de 430
PasoCálculoExplicación
1Raíz entera ( 430 ) = 20Esta vez el entero es 20 .
2430 – 202 = 430 – 400 = 30430 le restamos 202
330 20 ) / 2 = 1,5 / 2 = 0,75El resultado anterior lo dividimos por elentero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.
420 0,75 20,75El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.
Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen.
Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.
De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:
Raíz cuadrada de 319
PasoCálculoExplicación
1Raíz entera ( 319 ) = 17Vemos que 319 es muy cercano a 182 = 324
2182 – 319 = 324 – 319 5Esta vez prefiero acercarme al número (319 ) por encima (324).
318 ) / 2 = 0,27 / 2 = 0,13El resultado anterior lo dividimos por 18,ya que me acerqué esta vez por el cuadrado de 18 y el resultado lo dividimos entre 2.
418 – 0,13 17,87El resultado anterior lo resto de 18 y obtenemos el resultado definitivo.