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lunes, 29 de abril de 2013

Mnemónicos para axiomas.


 

Antes de empezar con los mnemónicos hablaré un poco sobre lo que es  la abstracción, veamos una definición; (del lat. abstractio = sacar fuera de) es un proceso que implica reducir los componentes fundamentales de información de un fenómeno para conservar sus rasgos más relevantes con el objetivo de formar categorías o conceptos. Por ejemplo si tomamos la siguiente secuencia o serie: palmera, sauce, roble, manzano... podemos tomar ciertas características como la raíz, el tronco, las ramas, hojas, fruto etc. y según esto abstraer un “árbol ideal” que nos serviría de molde para poder identificar a otras especies, clasificar o incluso descubrir nuevas. Así se puede abstraer características o patrones de los operadores matemáticos, observamos a los signos +, - , X, / etc. y definimos un operador abstracto que podría representar desde el conocido signo “+” (operador suma) hasta, por ejemplo, un giro en el cubo rubik. Otro ejemplo más para que quede bien claro, tomemos los cuerpos de números naturales |N, reales |R y complejos |C.  Una característica de todos ellos es que existen la suma y multiplicación, pero por ejemplo dos números naturales divididos no dan otro natural, ejemplo 1/2 = 0.5  no pertenece a los naturales sino a los racionales. Así podemos definir un cuerpo de números G abstracto con el cual trabajaremos propiedades de estos cuerpos de una manera más general.

Empecemos con estos axiomas donde G es un cuerpo más general que no son ni los reales ni complejos etc. y el operador O que tampoco es ninguno de los conocidos sino algo más abstracto:

Grupos

Un grupo (G, \circ) es un conjunto G en el que se ha definido una ley de composición interna \circ que satisface los siguientes axiomas:
  1. Asociatividada \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c, \forall a,b,c \in G
  2. Elemento neutro\exists e \in G : e \circ a=a \circ e=a
  3. Elemento simétrico\forall a \in G\quad \exists a^{-1} \in G : a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e
Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de elementos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna (operación binaria) que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo.
Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:
a \circ b = b \circ a \quad \forall a \in G

Para comenzar asociaré 1 con la propiedad asociativa, en el código que manejo 1 = t, es decir (la vocal no cuenta) así imagino a un grupo de ingleses asociándose a las 5 pm. Para tomar el té.

2 = n, es decir “ano”  me imagino expeliendo elementos neutrones por el ano. Estas asociaciones cuasi-escatológicas que nos mueven a la risa son las más efectivas.

3 = mear, aquí uso una consonante la “r” que es el número cero pero esta vez podemos obviar, no podemos ser  tan estrictos siguiendo las reglas, siempre y cuando no nos confundamos. Aquí podría imaginarme “meando a un simio rico (simet-rico)” entonces esto me ayudaría a recordar que la propiedad 3 es la del elemento simétrico.

4 = Oca, Aquí podemos imaginar a Abel (para hacernos una idea del matemático Niels Hendrik Abel, podemos buscar en imágenes google para reforzar nuestra asociación; información adicional como la extrema pobreza en la que vivió nos puede servir para hacernos de un contexto) Así imaginamos a Abel con su oca poniéndola sobre un conmutador (una especie de motor-interruptor) para hacerlo funcionar. Y ya tenemos la asociación 4 -oca-Abel-conmutativo.

Para axiomas de números reales ya no son 4 sino 8 (es decir, 4 para el operador suma y 4 para el operador multiplicación) sin embargo, aquí hay algunas variaciones según los autores, pues muchos empiezan con el axioma de clausura, además de que cada cuerpo tendrá sus propios axiomas particulares (como los axiomas de relación de orden que existen en los reales, pero no en los complejos) debido a sus características propias. El axioma de clausura nos dice que al operar dos elementos de un grupo, este también debe pertenecer al grupo. Esto no se cumple por ejemplo en los irracionales en el caso de \sqrt{2} \,que es irracional, pero si multiplicamos \sqrt{2} \,x\sqrt{2} \,= 2, 2 no pertenece a los irracionales.
  
Los axiomas suelen ser la primera clase o la introducción de una gran variedad de temas en las matemáticas universitarias, así que estudiándolas de manera más general nos ahorramos algo de trabajo.